Menghitung Luas Daerah

 

Menghitung Luas Daerah

Cara cepat yang pertama yaitu langsung menggunakan rumus baku, artinya kita tidak perlu menggunakan integral. Berikut penjelasannya :

i). Rumus Diskriminan
       Tentu teman-teman masih ingat tentang cara menentukan nilai Diskriminan pada materi persamaan kuadrat? Misalkan ada bentuk [Math Processing Error]

, nilai diskriminannya [Math Processing Error] dapat dihitung dengan cara [Math Processing Error]

. Adapun syarat penggunaan rumus diskriminan ini adalah untuk daerah yang tepat dibatasi oleh dua kurva yaitu kurva parabola dan parabola atau kurva parabola dan garis lurus.

Langkah-langkah pengerjaannya :
*). Samakan kedua fungsi, lalu nolkan salah satu ruas.
*). Hitunglah nilai diskriminan [Math Processing Error]

tanpa menyederhanakan bentuk persamaan kuadratnya.
*). Hitung luas dengan rumus : Luas [Math Processing Error]

 

ii). Rumus Pengurangan titik potong

Perhatikan bentuk gambar berikut ini,

Misalkan kedua kurva seperti gambar di atas (syarat dua kurvanya seperti pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di [Math Processing Error]

dan [Math Processing Error] , maka luas daerah yang diarsir dapat ditentukan dengan rumus : [Math Processing Error]

.

iii). Rumus persegi panjang
       Rumus ketiga ada kaitannya dengan konsep luas persegi panjang. Syarat rumus ini bisa digunakan hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan daerah yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :

Dari gambar, luas daerah A dan B jika digabungkan membentuk persegi panjang. Perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1. Sehingga luas A atau B Yaitu :
Luas A [Math Processing Error]

luas persegi panjang,
Luas B [Math Processing Error]

luas persegi panjang.

Catatan : perlu diingat, bagian di dalam kurva (bagian gemuk) memiliki luas lebih besar dari bagian yang di luar kurva (bagian kurus).

Untuk pembuktian ketiga rumus di atas, silahkan dibaca pada artikel Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral 

 

contoh :

Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus $\cdots \cdot$
A. $L={\int }_{-2}^3(x^2-x+6)\text{d}x$
B. $L={\int }_{-2}^3(-x^2+x+6)\text{d}x$
C. $L={\int }_{-2}^3(x^2-x-6)\text{d}x$
D. $L={\int }_2^{-3}(x^2-x+6)\text{d}x$
E. $L={\int }_2^{-3}(-x^2+x+6)\text{d}x$

Pembahasan

Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva.
Untuk itu, kita akan mencari koordinat titik potongnya dulu dengan cara menyamakan kedua fungsi.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2=x+6& \\ x^2-x-6& =0\\ (x-3)(x+2)& =0\end{array}$

Diperoleh $x=3$ atau $x=-2$.
Untuk $x=3$, diperoleh $y=9$.
Untuk $x=-2$, diperoleh $y=4$.
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(3,9)$ dan $(-2,4)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x=-2$ sebagai batas bawah dan $x=3$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+6$ berada di atas kurva $y=x^2$ pada interval $-2<x<3$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$\begin{array}{cc}A& {\int }_{-2}^3(y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})\text{d}x\\ & ={\int }_{-2}^3\left(\right(x+6)-(x^2\left)\right)\text{d}x\\ & ={\int }_{-2}^3(-x^2+x+6)\text{d}x\end{array}$
(Jawaban B)

from:

http://nanda.hstkb.sch.id/cara-cepat-menghitung-luas-daerah-dengan-integral/dalam/integral/

 https://mathcyber1997.com/luas-daerah-integral/