Menghitung Luas Daerah Pada Koordinat Polar

 

Menghitung Luas Daerah Pada Koordinat Polar

Luas

Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor (juring) dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu

L=12r2θ

dengan θ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor lingkaran adalah sebanding dengan sudut pusatnya.

Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar r=f(θ) dan oleh dua garis θ = a dan θ = b, dimana f adalah kontinu dan tak negatif serta 0≤b−a≤2π.

Kita bagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung θ0,θ1,...,θn dan panjang masing-masing anak selang adalah Δθ. Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat Δθ.

Kita pilih θ∗i∈[θi−1,θi]. Jika ΔLi menyatakan luas daerah bagian ke-i, maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas sektor lingkaran dengan jari-jari f(θ∗i) dan sudut pusat Δθ, yaitu

ΔLi=12(f(θ∗i))2Δθ
Sehingga hampiran untuk total luas daerah D adalah
L≈∫ba12(f(θ))2dθ=∫ba12r2dθ

Perhatikan bahwa jumlah di atas adalah sebuah jumlah Riemann, dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas daerah D jika n→∞.

Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas daerah D sebagai berikut
L=∫ba12(f(θ))2dθ=∫ba12r2dθ

contoh :

 -

 

from :

https://www.sheetmath.com/2017/12/rangkuman-koordinat-polar-kalkulus.html