Integral Parsial

 

Integral Parsial

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik substitusi, ada teknik lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan. Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini adalah konsep integral parsial:

Jika y = U(x) . V(x), maka:

\frac{dy}{dx}=V(x) \cdot U',(x)+U(x) \cdot V',(x)

dy = v(x) \cdot U' (x)dx+U(x) \cdot V' (x)\, dx

Jika y diganti UV maka:

d(UV) = V(x) \cdot U' (x)\, dx+U(x) \cdot V'(x)\, dx

Karena diketahui bahwa U' (x) dx = dU dan V' (x) dx = dV, maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:

Rumus ntegral parsial:

\int U \cdot dV = UV -\int V \cdot dU

Perlu diperhatikan untuk memilih U dan dV yang tepat agar pengintegralan memberikan hasil. (dV) harus dipilih yang dapat diintegralkan dengan rumus, sedangkan yang lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang bisa menurunkan U dan mengintegralkan dV secara berulang. Jika terjadi proses yang berulang, maka proses dapat diringkas. Sebagai contoh \int x^2 \cos x\, dx adalah:

integral parsial

Maka diperoleh hasil:

\int x^2 \cos x\, dx = (x^2 \cdot \sin x)-(2x \cdot - \cos x)+(2 \cdot - \sin x)+C

=x^2 \sin x+2x \cos x - 2 \sin x + C


contoh :

  1. Hasil dari ∫x sin x dx dengan menggunakan rumus integral parsial adalah…

A. – x cos x + sin x + c

B. x cos x + sin x + c

C. x cos x – sin x + c

D. – x sin x + cos x + c

E. x sin x + cos x + c

Pembahasan
Misal:
u = x maka du = dx
dv = sin x dx maka v = ∫sin x dx = – cos x
Jadi,
∫u dv = uv – ∫v du
∫x sin x dx = x . – cos x – ∫(-cosx) dx
∫x sin x dx = – x cos x + sin x + c

Jawaban : A

 

2. Hasil dari ∫(x + 1) cos 3x dx = …

A. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 sin 3x + c

B. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c

C. 1/3 (x + 1) sin 3x – 1/9 cos 3x + c

D. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/3 cos 3x + c

E. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c

Pembahasan
Misal:
u = x + 1 maka du = dx
dv = cos 3x maka v = ∫ cos 3x dx = 1/3 sin 3x
∫u dv = u . v – ∫ v du
∫(x + 1) cos 3x dx = (x + 1) . 1/3 sin 3x – ∫1/3 sin 3x dx
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x – (- 1/9 cos 3x) + c
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
Jawaban: B

 

from :

https://www.studiobelajar.com/integral-substitusi-parsial/

https://matematikasia.wordpress.com/2017/01/30/konten-utama-6/

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Menghitung Luas Daerah Pada Koordinat Polar

  Menghitung Luas Daerah Pada Koordinat Polar Luas Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor (juring) dari suatu lingkaran dengan jari-jari r , yaitu L = 1 2 r 2 θ dengan θ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor lingkaran adalah sebanding dengan sudut pusatnya. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar r = f ( θ ) dan oleh dua garis θ = a dan θ = b , dimana f adalah kontinu dan tak negatif serta 0 ≤ b − a ≤ 2 π . Kita bagi selang [ a , b ] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung θ 0 , θ 1 , . . . , θ n dan panjang masing-masing anak selang adalah Δ θ . Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat Δ θ . Kita pilih θ ∗ i ∈ [ θ i − 1 , θ i ] . Jika Δ L i menyatakan luas daerah bagian ke- i , maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas ...
Baca selengkapnya