Integral Tak Wajar

 integral takwajar 

adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle -\infty }$, atau gabungan dari beberapa diantaranya. Integral takwajar dinotasikan seperti integral tentu, namun dengan batas pengintegralan tak hingga.

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dengan bentuk

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

atau

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

dengan limit diambil pada salah satu atau kedua batasnya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar seringkali perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral reimann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga. 

integral reimann tidak dapat didefinisikan untuk fungsi ${\displaystyle 1/{x^{2}}}$ pada interval [1, ∞). Hal ini karena domain integral tersebut memiliki domain integrasi tak terbatas. Meskipun demikian, integral Riemann dapat memiliki nilai sebagai integral takwajar dengan menafsirkannya sebagai limit

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right]=1.}$

Integral Riemann juga tidak dapat didefinisikan untuk fungsi ${\displaystyle 1/{\sqrt {x}}}$ pada interval [0, 1] karena integran tak terbatas pada domain integrasi. Meskipun demikian, integral tersebut dapat ditafsirkan sebagai limit

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{a\to 0^{+}}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {a}}\right]=2.}$

Perhatikanlah gambar grafik ini :

Pada bagian ini akan dipelajari integral dengan kasus batas [a, b] tak berhingga dan ada satu titik atau lebih pada [𝑏, 𝑐]. dimana 𝑔(𝑦) tidak terdefinisi. Inilah seperti ini dinamakan integral tak wajar.

•  Limit Tak Terhingga

Limit tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞, yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar / mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar / mengecil tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f dititik c  untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c.

• Sebuah Limit Tak Terhingga

Berikut adalah definisinya sebuah limit tak berhingga :

 

 Contoh :

penyelesainnya :

from :

https://id.wikipedia.org/wiki/Integral_takwajar#:~:text=Dalam%20kalkulus%2C%20integral%20takwajar%20adalah%20limit%20dari%20integral,lain%2C%20integral%20tak%20wajar%20adalah%20limit%20dengan%20bentuk

https://elmunawarahnurdini.wordpress.com/2014/07/13/bab-2-bentuk-tak-tentu-dan-integral-tak-wajar/