integral substitusi

Pengertian Integral Subtitusi

Di dalam bidang kalkulasi, integral substitusi atau substitusi – u ialah salah satu metode untuk mencari suatu integral dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi sebuah bentuk yang lebih sederhana.

Contohnya:

Contoh 1:

Perhatikan sebuah integral berikut:

\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx

Apabila kita melakukan substitusi u = (x² + 1), maka diperolehlah du = 2x dx, maka sehingga x dx = ½du. Lalu kita substitusikan ke dalam sebuah bentuk integralnya:

{\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}

Perlu diingat bahwa di pembahasan ini batas bawahnya yaitu: x = 0, diganti dengan u = 0² + 1 = 1, dan batas atas x = 2 diganti dengan u = 2² + 1 = 5, maka dalam kasus ini u tidak perlu diubah kembali menjadi x.

Contoh 2:

Untuk sebuah integral:

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx

Substitusi yang sebaiknya dilakukan yaitu: x = sin(u), dx = cos(u) du, sebab ${\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)$ :

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\Bigg (}{{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}{\Bigg )}{\Bigg \vert }\,}_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}

Contoh 3:

Metode substitusi ini bisa digunakan untuk mencari antiturunan, yaitu dengan menentukan hubungan antara x dan u serta dx dan du. Berikut ini ialah contohnya:

{\begin{aligned}&{}\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&{}={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C\end{aligned}}

Rumus integral substitusi digunakan pada bagian dari sebuah fungsi merupakan suatu turunan dari fungsi lainnya. Biasanya, soal integral yang bisa diselesaikan dengan cara menggunakan substitusi yang terdiri dari 2 faktor , yang mana turunan dari salah satu faktornya mempunyai sebuah hubungan dengan faktor lainnya.

Rumus Integral Subtitusi

Pada bagian awal kita sudah sedikit membahas tentang ciri – ciri soal integral yang dapat diselesaikan dengan menggunakan sebuah rumus integral substitusi.

yang mana intinya, ciri – ciri dari soal integral yang bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus integral substitusi yaitu yang mempunyai faktor yang merupakan turunan dari faktor lainnya.

Coba kita perhatikan salah satu contoh soal integral yang bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus integral substitusi di bawah berikut:

Soal integral yang diberikan di atas berikut adalah sebuah soal yang tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus integral umum seperti biasa.

Perlu sebuah teknik dan metode yang tepat untuk mendapatkan nilai integralnya. Metode yang tepat untuk menyelesaikan soal integral di atas yaitu rumus integral substitusi.

Rumus integral substitusi dapat diberikan dengan melalui persamaan di bawah berikut ini:

contoh :

Perhatikan bahwa jika U = g(x), maka $\frac{dU}{dx}g^I(x)$ atau $dU = g^I(x)\, dx$ .

$\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x) dx$

Maka, integral ini dapat diselesaikan dengan memisalkan U = g(x) dan $U = g^I(x)dx$ sehingga diperoleh persamaan:

$\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x)dx=k \cdot \int(U)^n \cdot dU$

$= \frac{k}{n+1}U^{(n+1)}+C$

untuk $n \neq -1$ .

Jika saja $n = -1$ , maka:

$k \cdot \int(U)^{-1} \cdot dU = \ln U+C$ .

Sebagai contoh:

Jika $f(x)=(x^4+5)^3 x^3$ , untuk mendapat integralnya dengan memisalkan:

$x^4+5 = U$ dan $\frac{dU}{dx}=4x^3$

sehingga $x^3 dx=\frac{1}{4} dU$ .

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int(x^4+5)^3x^3\, dx=\int(U)^3 \cdot \frac{1}{4} dU$

$=\frac{1}{16}U^4+C$

Jika hasil integral diatas disubstitusi dengan permisalan U di peroleh:

$\frac{1}{16}U^4+C=\frac{1}{16}(x^4+5)^4+C$

Contoh diatas merupakan teknik substitusi pada integral tak tentu. Pada integral tertentu yang memiliki nilai pada interval $a \le b \le c$ tertentu, maka interval tersebut harus disubstitusi ke dalam interval baru untuk variabel U. Sebagai contoh jika $\int^2_0 (x^4+5)^3x^3\, dx$ , untuk mendapat integralnya dengan memisalkan: