Integral Substitusi Trigonometri

 

Integral Substitusi Trigonometri

Ada dua hal yang akan kita diskusikan dalam pembahasan ini. Pertama, kita akan mendiskusikan bagaimana penggunaan substitusi trigonometri dalam menyelesaikan permasalahan integral. Kedua, kita akan juga membahas penggunaan integral dalam memodelkan dan menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

 

Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar

Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras

Sebagai contoh, jika a > 0, misalkan u = a sin θ, dengan –π/2 < θ < π/2. Maka

Perhatikan bahwa cos θ ≥ 0, karena –π/2 < θ < π/2.

Substitusi Trigonometri

1. Untuk integral yang memuat √(a² – u²), misalkan u = a sin θ. Maka, didapatkan √(a² – u²) = a cos θ, di mana –π/2 < θ < π/2.
   
2. Untuk integral yang memuat √(a² + u²), misalkan u = a tan θ.
   Maka, √(a² + u²) = a sec θ, dengan –π/2 < θ < π/2.
   
3. Untuk integral yang memuat √(u² – a²), misalkan u = a sec θ. Maka,
   
   

Catatan Batasan dari θ memastikan bahwa fungsi pada substitusi tersebut merupakan fungsi satu-satu. Faktanya, batasan tersebut merupakan interval yang sama di mana arcsinus, arctangen, dan arcsecan didefinisikan.

 contoh :

Tentukan hasil integral dari intfracx2sqrt1−x2dx

?

Penyelesaian :
*). Soal ini akan sulit kita selesaikan dengan substitusi aljabar maupun teknik parsial, sehingga kita selesaikan dengan teknik substitusi trigonometri.
*). Bentuk sqrt1−x2,,

substitusi x=sint, atau ,x=cost

.

*). Pertama, kita substitusi dengan x=sint

.
x=sintrightarrowt=arcsinx
x=sintrightarrowfracdxdt=costrightarrowdx=costdt.
sqrt1−x2=sqrt1−(sint)2=sqrtcos2t=cost.
Gunakan rumus : sin2t=frac12–frac12cos2t.
dan sin2t=2sintcost.
Serta cost=sqrt1–sin2t=sqrt1–x2
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel x, dan dx, nya :
begin{align} int frac{x^2}{sqrt{1-x^2}} dx  &  = int frac{(sin t)^2}{ cos t } cos t dt  \   &  = int  (sin t)^2  dt  \   &  = int  frac{1}{2} – frac{1}{2} cos 2t   dt  \   &  =    frac{1}{2}t – frac{1}{2} . frac{1}{2} sin 2t   + c  \   &  =    frac{1}{2}t –  frac{1}{4} sin 2t   + c  \   &  =    frac{1}{2}t –  frac{1}{4} . 2 sin t cos t    + c     \   &  =    frac{1}{2}t –  frac{1}{2}  sin t cos t    + c   , , , , , text{(ubah dalam bentuk } x) \   &  =    frac{1}{2} arc sin x –  frac{1}{2}   x    sqrt{ 1 – x^2 }    + c    \   &  =    frac{1}{2} arc sin x –  frac{x}{2}      sqrt{ 1 – x^2 }    + c     end{align}
Jadi, hasilnya : intfracx2sqrt1−x2dx=frac12arcsinx–fracx2sqrt1–x2+c . 

 

*). Kedua, kita substitusi dengan x=cost.
x=costrightarrowt=arccosx
x=costrightarrowfracdxdt=−sintrightarrowdx=−sintdt.
sqrt1−x2=sqrt1−(cost)2=sqrtsin2t=sint.
Gunakan rumus : cos2t=frac12+frac12cos2t.
dan sin2t=2sintcost.
Serta sint=sqrt1–cos2t=sqrt1–x2
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel x, dan dx, nya :
begin{align} int frac{x^2}{sqrt{1-x^2}} dx  &  = int frac{(cos t)^2}{ sin t } . – sin t dt  \   &  = -int  (cos t)^2  dt  \   &  = – int  frac{1}{2} + frac{1}{2} cos 2t   dt  \   &  =   – ( frac{1}{2}t + frac{1}{2} . frac{1}{2} sin 2t )  + c  \   &  =    -frac{1}{2}t –  frac{1}{4} sin 2t   + c  \   &  =    -frac{1}{2}t –  frac{1}{4} . 2 sin t cos t    + c     \   &  =    -frac{1}{2}t –  frac{1}{2}  sin t cos t    + c   , , , , , text{(ubah dalam bentuk } x) \   &  =    -frac{1}{2} arc cos x –  frac{1}{2} .     sqrt{ 1 – x^2 } . x    + c    \   &  =    -frac{1}{2} arc cos x –  frac{x}{2}      sqrt{ 1 – x^2 }    + c     end{align}
Jadi, hasilnya : intfracx2sqrt1−x2dx=–frac12arccosx–fracx2sqrt1–x2+c

.

Kedua permisalan di atas memberikan hasil yang berbeda, tapi kedua hasil integralnya sama-sama benar. Jika soalnya ada pilihannya (opsinya), maka hanya salah satu saja yang pasti ada, tidak mungkin keduanya. Dan jika soalnya berupa essay, maka hasilnya tergantung substitusi trigonometri yang kita pilih, dan keduanya benar. 

 

from :

https://yos3prens.wordpress.com/2014/10/28/teknik-integral-substitusi-trigonometri/#:~:text=Substitusi%20trigonometri%20dapat%20digunakan%20untuk%20menyelesaikan%20integral%20yang,%CE%B8%2C%20dengan%20%E2%80%93%CF%80%2F2%20%3C%20%CE%B8%20%3C%20%CF%80%2F2%20

http://nanda.hstkb.sch.id/contoh-soal-dan-pembahasan-integral-substitusi-trigonometri/dalam/integral/